Go 数据结构和算法篇（十七）：二叉排序（查找）树

前面已经介绍了二叉树的存储和遍历，今天这篇教程我们以二叉排序树为例，来演示如何对二叉树的节点进行「增删改查」。开始之前，我们先来介绍什么是二叉排序树，以及为什么要引入这种二叉树。

什么是二叉排序树

我们前面已经介绍了很多数据结构，比如数组、链表、哈希表等，数组查找性能高，但是插入、删除性能差，链表插入、删除性能高，但查找性能差，哈希表的插入、删除、查找性能都很高，但前提是没有哈希冲突，此外，哈希表存储的数据是无序的，哈希表的扩容非常麻烦，涉及到哈希冲突时，性能不稳定，另外，哈希表用起来爽，构造起来可不简单，要考虑哈希函数的设计、哈希冲突的解决、扩容缩容等一系列问题。

有没有一种插入、删除、查找性能都不错，构建起来也不是很复杂，性能还很稳定的数据结构呢？这就是我们今天要介绍的数据结构 —— 二叉排序树。

二叉排序树也叫二叉搜索树、二叉查找树，简称 BST（Binary Search/Sort Tree）树，它是一种特殊的二叉树，我们重点关注「排序」二字，二叉排序树要求在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值，所以这么看来，二叉排序树是天然有序的。如果按照上篇教程讲的中序遍历，得到的结果将是一个从小到大的有序数据集：

但是构造二叉排序树的目的，并不是为了排序，而是为了提高查找、插入和删除的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上查找数据肯定比无序数据集要快，同时二叉排序树这种非线性结构，也非常有利于插入和删除的实现。

下面我们就来看看如何实现二叉排序树的插入、查找和删除以及它们对应的时间复杂度。

定义二叉排序树

首先，我们需要定义好表示二叉树节点的数据结构，还是通过二叉链表来存储二叉排序树，为了提高代码的复用性，我们将上篇教程定义的 Node 结构体抽取出来放到独立的 node.go 文件：

package main
​
import (
  "fmt"
)
​
// Node 通过链表存储二叉树节点信息
type Node struct {
  Data  interface{}
  Left  *Node
  Right *Node
}
​
func NewNode(data interface{}) *Node {
  return &Node{
    Data:  data,
    Left:  nil,
    Right: nil,
  }
}
​
func (node *Node) GetData() string {
  return fmt.Sprintf("%v", node.Data)
}

然后，我们新建一个 search.go 文件定义下二叉排序树对应的结构体，只需要根节点作为入口即可获取整棵树的结构：

package main
​
type BinarySearchTree struct {
  root *Node
}
​
// NewBinarySearchTree 初始化二叉排序树
func NewBinarySearchTree(node *Node) *BinarySearchTree {
  return &BinarySearchTree{
    root: node,
  }
}

这里我们通过结构体组合的方式声明二叉排序树的根节点是一个 Node 类型的指针，并为其定义了一个构造函数。

二叉排序树的插入

接下来，我们按照二叉排序树的定义，实现二叉排序树节点的插入方法：

​
// Insert 插入数据到二叉排序树
func (tree *BinarySearchTree) Insert(data interface{}) error {
  var value int
  var ok bool
  if value, ok = data.(int); !ok {
    return errors.New("暂时只支持int类型数据")
  }
  if node := tree.root; node == nil {
    // 二叉排序树为空，则初始化
    tree.root = NewNode(value)
    return nil
  } else {
    // 否则找到要插入的位置插入新的节点
    for node != nil {
      if value < node.Data.(int) {
        if node.Left == nil {
          node.Left = NewNode(value)
          break
        }
        node = node.Left
      } else if value > node.Data.(int) {
        if node.Right == nil {
          node.Right = NewNode(value)
          break
        }
        node = node.Right
      } else {
        return errors.New("对应数据已存在，请勿重复插入")
      }
    }
    return nil
  }
}

如果是空树，则将其作为根节点，否则判断插入节点数据与当前节点数据值的大小，如果小于当前节点数据值，则递归遍历左子树，找到对应的位置插入，如果大于当前节点数据值，则递归遍历右子树找到对应的位置插入。

我们可以写一段简单的测试代码测试节点插入方法：

func main() {
  tree := NewBinarySearchTree(nil)
  tree.Insert(3)
  tree.Insert(2)
  tree.Insert(5)
  tree.Insert(1)
  tree.Insert(4)
​
  fmt.Println("中序遍历二叉排序树：")
  midOrderTraverse(tree.root)
  fmt.Println()
}

这里我们使用了上一篇编写的中序遍历方法 midOrderTraverse，对应的打印结果如下：

二叉排序树的查找

二叉排序树的删除比较复杂，我们先来看查找逻辑的实现，查找实现非常简单，和插入逻辑类似，依次递归比较就好了，直到目标节点数据值和待查找的数据值一致，则返回该节点的指针，或者返回空，表示没有找到：

// Find 查找值为data的节点
func (tree *BinarySearchTree) Find(data int) *Node {
  if node := tree.root; node == nil {
    // 二叉排序树为空返回空
    return nil
  } else {
    // 否则返回值等于data的节点指针
    for node != nil {
      if data < node.Data.(int) {
        node = node.Left
      } else if data > node.Data.(int) {
        node = node.Right
      } else {
        return node
      }
    }
    return nil
  }
}

在上一步编写的测试代码基础上，我们可以通过编写如下代码打印找到节点的对象信息。

fmt.Println("查找值为 3 的节点：")
node := tree.Find(3)
fmt.Printf("%v\n", node)

fmt.Println("查找值为 10 的节点：")
node = tree.Find(10)
fmt.Printf("%v\n", node)

执行代码，打印结果如下：

二叉排序树的删除

二叉排序树的删除相对而言要复杂一些，需要分三种情况来处理：

• 第一种情况：如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中指向要删除节点的指针置为 nil。比如下图中的删除节点 55。
• 第二种情况：如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如下图中的删除节点 13。
• 第三种情况：如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要先找到这个节点的右子树中节点值最小的节点，把它替换到要删除的节点上，然后再删除掉这个最小节点。因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如下图中的删除节点 18。（同理，也可以通过待删除节点的左子树中的最大节点思路来实现）

根据上面的思路，我们给出二叉排序树节点删除逻辑的实现代码：

// Delete 删除值为 data 的节点
func (tree *BinarySearchTree) Delete(data int) error {
  if tree.root == nil {
    return errors.New("二叉树为空")
  }
​
  p := tree.root
  var pp *Node = nil // p 的父节点
​
  // 找到待删除节点
  for p != nil && p.Data.(int) != data {
    pp = p
    if p.Data.(int) < data {
      // 当前节点值小于待删除值，去右子树查找
      p = p.Right
    } else {
      // 否则去左子树查找
      p = p.Left
    }
  }
  if p == nil {
    return errors.New("待删除节点不存在")
  }
​
  // 待删除节点有两个子节点，需要将待删除节点值设置为该节点右子树最小节点值，再删除右子树最小节点
  if p.Left != nil && p.Right != nil {
    minP := p.Right // 右子树中的最小节点
    minPP := p      // minP 的父节点
    // 查找右子树中的最小节点
    for minP.Left != nil {
      minPP = minP
      minP = minP.Left
    }
    p.Data = minP.Data // 将 minP 的数据设置到 p 中
    p = minP           // 下面就变成删除 minP 了
    pp = minPP
  }
​
  // 应用待删除节点只有左/右子节点的逻辑
  var child *Node
  if p.Left != nil {
    child = p.Left
  } else if p.Right != nil {
    child = p.Right
  } else {
    child = nil
  }
​
  if pp == nil {
    // 删除跟节点
    tree.root = nil
  } else if pp.Left == p {
    // 仅有左子节点
    pp.Left = child
  } else if pp.Right == p {
    // 仅有右子节点
    pp.Right = child
  }
​
  return nil
}

在之前测试代码的基础上，编写节点删除方法的测试代码：

fmt.Println("删除值为 3 的节点：")
err := tree.Delete(3)
if err != nil {
  fmt.Printf("%v\n", err)
} else {
  fmt.Println("删除成功")
}
​
fmt.Println("中序遍历删除节点后的二叉排序树：")
midOrderTraverse(tree.root)
fmt.Println()

执行 search.go，打印结果如下：

二叉排序树的时间复杂度

不论是插入、删除、还是查找，二叉排序树的时间复杂度都等于二叉树的高度，最好的情况当然是满二叉树或完全二叉树，此时根据完全二叉树的特性，时间复杂度是 O(logn)，性能相当好，最差的情况是二叉排序树退化为线性表（斜树），此时的时间复杂度是 O(n)，所以二叉排序树的形状也很重要，不同的形状会影响最终的操作性能，这也就引入了学院君接下来要继续深入介绍的二叉树内容 —— 平衡二叉树和红黑树。